# 第四章、微分方程

# 知识点

# 常微分方程的基本概念

• 微分方程
• 微分方程的阶
• 微分方程的解
• 微分方程的通解
• 微分方程的特解
• 初始条件
• 积分曲线

# 一阶微分方程

# 可分离变量的方程

• $y'=f(x)g(x)$
• $g(y)dy=f(x)dx$

# 齐次方程

• $y'=f(\frac{y}{x})\qquad (\frac{y}{x}=u)$

# 线性方程

• $y'+P(x)y=Q(x)$
  $通解: y=e^{-\int p(x)dx}[\int Q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C]$

# 全微分方程

• $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$
• 判定: \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}
• 解法: $1. 偏积分\quad2. 凑微分\quad3.线积分$

# 可降阶的高阶方程

• $y''=f(x)$
• $y''=f(x,y')\qquad (y'=p, y''=\frac{dp}{dx})$
• $y''=f(y,y'')\qquad (y'=p,y''=p\frac{dp}{dy})$

# 高阶线性微分方程

# 线性微分方程解的结构

• \begin{aligned} & 齐次方程: && y''+p(x)y'+q(x)y=0 &(1)\\ & 非齐次方程: && y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)&(2) \end
• $定理1: 如果y_1(x)和y_2(x)是齐次方程(1)的两个线性无关的特解, 那么$
  $\qquad\qquad y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)就是方程(1)的通解$
• $定理2: 如果y^*是非齐次方程(2)的一个特解, y_1(x)和y_2(x)是齐次方程(1)的两个线性无关的特解, 则y$
  $\qquad y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y^*(x)是非齐次微分方程的(2)的通解$
• $定理3: 如果y_1^*(x), y_2^*(x)是非齐次方程(2)的两个特解, 则$
  $\qquad y(x)-y^*_2(x)-y_1^*(x)是齐次微分方程(1)的解$
• $定理4: 如果y_1^*(x), y_2^*(x)分别是方程$
  $\qquad y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x)$
  $\qquad y''+p(x)y'+q(x)y=f_2(x)$
  $的特解, 则y_1^*(x)+y_2^*(x)是方程y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x)+f_2(x)的一个特解$

# 常系数齐次线性微分方程$\quad y''+py'+qy=0$

• 特征方程: $r^2+pr+q=0, 设r_1, r_2是特征方程两个根$
  \begin{aligned} &不等实根: &&r_1\neq r_2 &&y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\\ &相等实根: &&r_1=r_2=r &&y=C_1e^{rx}(C_1+C_2x)\\ &共轭复根: &&r_{1,2}=\alpha\pm i\beta &&y=e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)\\ \end

# 常系数非齐次线性微分方程$\quad y''+py'+qy=f(x)$

• f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}\qquad令y^*=x_kQ_m(x)e^
• $f(x)= e^{\alpha x}[P_l(x)cos\beta x+P_n(x)sin\beta x]$
  令y^*=x^ke^{\alpha x}(R_m^{(1)}cos\beta x+R_m^{(2)}sin\beta x)\quad m=max \left \

# 考点

# 微分方程求解

• 可分离变量类
• 齐次方程类
• 一阶线性类
• 其他类
  常用方法: $\quad x与y对调\quad 变量代换$

# 综合题

# 应用题