# 第六章、二重积分

# 知识点

# 二重积分的概念

• $\iint\limits_Df(x,y)d\sigma = \lim_{d \to 0}\sum_{k=1}^nf(\xi_k,\eta_k)\Delta\sigma_k$

# 二重积分的几何意义

• 二重积分$\iint\limits_Df(x,y)d\sigma$ 是一个数，当$f(x,y)\ge0$ 时，其值等于以积分域$D$ 为底，以曲面$z=f(x,y)$ 为曲顶的曲顶柱体的体积

# 二重积分的性质

# 不等式性质

• $若f(x,y) \le g(x,y), 则\iint\limits_Df(x,y)d\sigma\le\iint\limits_Dg(x,y)d\sigma$
• $若f(x,y)在D上连续,则mS\le\iint\limits_Df(x,y)d\sigma\le MS$
• $|\iint\limits_Df(x,y)d\sigma|\le\iint\limits_D|f(x,y)|d\sigma$

# 积分中值定理

• $若f(x,y)在D上连续, 则\iint\limits_Df(x,y)d\sigma\le\iint\limits_Df(\xi,\eta)S$

# 二重积分计算

# 利用直角坐标计算

• $先y后x: \iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\int_a^bdx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy=\int_a^b[\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy]dx$
• $先x后y: \iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\int_c^ddy\int_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx=\int_a^b[\int_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx]dy$

# 利用极坐标计算

• $\iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\int_\alpha^\beta dy\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta, r\sin\theta)rdr$
• 适合用极坐标计算的被积函数:
  $f(\sqrt{x^2+y^2}), f(\frac{y}{x}), f(\frac{x}{y})$
• 适合用极坐标的积分域:
  $x^2+y^2\le R^2; r^2\le x^2+y^2; x^2+y^2\le 2ax; x^2+y^2\le 2by$

# 利用对称性和奇偶性计算

• $若积分域D关于y轴对称, 则$
  $\iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\left\{ \begin{aligned} &2\iint\limits_{x\ge0}f(x,y)d\sigma;&f(-x,y)=f(x,y)\\ &0;&f(-x,y)=-f(x,y) \end{aligned} \right.$
• $若积分域关于x轴对称, 则$
  $\iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\left\{ \begin{aligned} &2\iint\limits_{y\ge0}f(x,y)d\sigma;&f(x,-y)=f(x,y)\\ &0;&f(x,-y)=-f(x,y) \end{aligned} \right.$

# 利用变量对称性计算

• $若D关于y=x对称, 则$
  $\iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\iint\limits_Df(y,x)d\sigma, 特别的: \iint\limits_Df(x)d\sigma=\iint\limits_Df(y)d\sigma$

# 考点

# 计算二重积分

# 累次积分交换次序及计算

# 与二重积分有关的综合题

# 与二重积分有关的不等式问题