# 第五章、多元微分学

# 知识点

# 重极限 连续 偏导数 全微分

# 重极限

• $\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)=A$
• $(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)是以"任何方式"$
• 局部有界性，保号性，有理运算，极限与无穷小的关系，夹逼性都与一元微分一致

# 连续

• 定义: $\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$
• 性质:
  1. 多元函数的和，差，积，商 (分母不为零) 及复合仍为连续函数
  2. 多元基本初等函数在其定义域内连续，初等函数在其定义区域内连续
  3. 有界闭区域上连续函数的性质
     a. 有界性: $若f(x,y)在有界区域D上连续, 则f(x,y)在D上有界$
     b. 最值性: $若f(x,y)在有界区域D上连续, 则f(x,y)在D上必有最大最小值$
     b. 介值性: $若f(x,y)在有界区域D上连续, 则f(x,y)在D上可取到介于最小值与最大值之间的任何值$

# 偏导数

• 定义:
  $f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x, y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\frac{d}{dx}f(x,y_0)|_{x=x_0}$
  f_y(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(x_0, y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}=\frac{d}{dx}f(x_0,y)|_
• 几何意义:
  $f_x(x_0,y_0)表示为y=y_0时z=f(x,y_0)曲线的切线$
  $f_y(x_0,y_0)表示为x=x_0时z=f(x_0,y)曲线的切线$

# 高阶偏导数$\qquad设f=f(x,y)$

• \begin{aligned} &\frac{\partial^2z}{\partial x^2}=f''_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x}) && \frac{\partial^2z}{\partial x \partial y}=f''_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x})\\ &\frac{\partial^2z}{\partial y \partial x}=f''_{yx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial y}) && \frac{\partial^2z}{\partial y^2}=f''_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial y}) \end
• 定理: $如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数f''_{xy}(x,y)及f''_{yx}(x,y)在区域D内连续, 则在区域D内恒有f''_{xy}(x,y)=f''_{yx}(x,y)$

# 全微分

• 定义: $若\Delta z=f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)=A\Delta x+B\Delta y + o(\rho)$
• 等价形式:
  $\Delta z=f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)-[A\Delta x+B\Delta y]=o(\rho)$
  $\lim_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}}\frac{f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)-[A\Delta x+B\Delta y]}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}=0$
  $\Delta z = f(x,y)-f(x_0,y_0)=A(x-x_0)+B(y-y_0)+o(\rho)$
  $\lim_{\substack{x \to x_0 \\ y \to y_0}}\frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-[A(x-x_0)+B(y-y_0)]}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}=0$
• 判定:
  $\Delta z=f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)=A\Delta x+B\Delta y + o(\rho)$
  $必要条件: f_x(x_0,y_0)与f_y(x_0,y_0)都存在$
  $充分条件: f_x(x,y)和f_y(x,y)在(x_0,y_0)连续$
  用定义判定:
  1. 导函数是否连续 (一个导函数存在，另一个导函数连续也可推出可微)
  2. $\lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)}\frac{\Delta z - [f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y]}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}是否为0$
• 计算: $若f(x, y)可微, 则dz=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$

# 连续、可导、可微的关系

# 偏导数与全微分的计算

# 复合函数求导法

• $设u=u(x,y), v=(x,y)可导, z=f(u,v)在相应点有连续一阶偏导数, 则$
  $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\qquad$
  \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}
• 全微分形式不变性
  $设z=f(u,v), u=u(x,y), v=(x,y)都有连续一阶导数, 则$
  $dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy\qquad$
  $dz=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv$

# 隐函数求导法

# 由一个方程所确定的隐函数

• $设F(x,y,z)有连续一阶偏导数, F_z \neq 0, z=z(x,y)由F(x,y,z)=0所确定$
  $1. 公式: \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}\qquad\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$
  $2. 等式两边求导:$
  $F_x+F_z\frac{\partial z}{\partial x}= 0\qquad F_y+F_z\frac{\partial z}{\partial y}=0$
  $3. 利用微分形式不变性$
  $F_xdx+F_ydy+F_zdz=0$

# $f(x,y)的偏导, f'_1, \frac{\partial f}{\partial x}, 偏积分, 之间的关系$

# 极值与最值

# 无条件极值

• 定义:
  $极大: f(x_0,y_0)\ge f(x,y)$
  $极小: f(x_0,y_0)\le f(x,y)$
• 极值的必要条件: $f_x(x_0,y_0)=0, f_y(x_0,y_0)$
  $极值点\mathop{}_{\nleftarrow}^{\nrightarrow}驻点$
• 极值的充分条件
  $设f_x(x_0,y_0)=0, f_y(x_0,y_0)=0$
  $A=f''_{xx}(x_0,y_0), B=f''_{xy}(x_0,y_0), C=f''_{yy}(x_0,y_0)$
  $1. 当AC-B^2>0时, 有极值\left \{\begin{aligned} &A>0&极小值;\\ &A<0&极大值. \end{aligned} \right.$
  $2. AC-B^2<0时, 无极值$
  $3. AC-B^2=0时, 不一定(一般用定义判定)$

# 条件极值与拉格朗日乘数法

• $函数f(x,y)在条件\varphi(x,y)=0条件下的极值$
  $令F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
  $\left \{\begin{aligned} &F_x=f_x'(x,y)+\lambda\varphi'_x(x,y)=0,\\ &F_y=f'_y(x,y)+\lambda\varphi'_y(x,y)=0,\\ &F_{\lambda}=\varphi(x,y)=0 \end{aligned}\right.$
• $函数f(x,y,z)在条件\varphi(x,y,z)=0, \psi(x,y,z)=0$
  $令F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda\varphi(x,y,z)+\mu\psi(x,y,z)$

# 最大最小值

# 考点

# 讨论连续性、可导性、可微性

• 估计极限:
  $对于\frac{n次}{n次}, 极限一般不存在$
  $对于\frac{高次}{低次}, 极限一般是0$
  $对于\frac{低次}{高次}, 极限一般是\infty$
• 求极限:
  1. 利用极限性质 (四则运算法则，夹逼定理)
  2. 小区分母中肌纤维零的因子 (有理化，等价无穷小替换)
  3. 利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量
• 证明极限不存在:
  沿两种不同的路径极限不同 (通常可取过$(x_0,y_0)$ 的直线)

# 偏导数与全微分的计算

# 求一点处的偏导数与全微分

# 求已给出具体表达式函数的偏导数与全微分

# 含有抽象函数的复合函数的偏导数与全微分

# 隐函数的偏导数与全微分

# 极值与最值

# 求无条件机制

# 求最大最小值

• $求连续函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大最小值$
  $1. 求f(x,y)在D内部可能的极值点$
  $2. 求f(x,y)在D的边界上的最大最小值$
  $3. 比较$