# 第二章、导数与微分

# 知识点

# 导数的概念

• 导数: f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}
• 左导数: f'_-(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^-}\frac{f(x+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{x \to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}
• 右导数: f'_+(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^+}\frac{f(x+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{x \to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}
• 可导$\rightleftarrows$ 左右导数存在且相等

# 微分的概念

• $若\Delta x=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x + o(\Delta x)$, 则称$f(x)$ 在$x_0$ 处可微，称$A\Delta x$ 为微分，记作$dy=A\Delta x$
• 定理: $函数y=f(x)在点x_0处可微的充分必要条件是f(x)在点x_0处可导, 且有dy=f'(x_0)\Delta x=f'(x_0)dx$

# 导数与微分的几何意义

• 导数: $f'(x_0)=tan\alpha$ —— 切线的斜率
• 微分: $dy=f'(x_0)dx$ —— 切线上的增量
• $\Delta y \approx dy$

# 连续，可导，可微之间的关系

• 可微必可导
• 可导必可微
• 连续不一定可导
• 连续不一定可微

# 使用洛必达的次数

• 条件: $f(x)n阶可导$，最多可用到$f^{(n-1)}(x)$
• 条件: $f(x)n阶连续可导$，最多可用到$f^{(n)}(x)$

# 求导公式

# 有理运算法则

• $(u\pm v)'=u'\pm v'$
• $(uv)'=u'v+uv'$
• $(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}, v\neq 0$

# 复合函数求导法

• $设u=\varphi(x), y =f(u)可导, 则y=f[\varphi(x)]$
  $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=f'(u)\cdot \varphi'(x)$

# 隐函数求导法

• F(x,y), \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}

# 反函数的导数

• $若x=\varphi(y)在某区间上单调、可导. 且\varphi'(y)\neq0, 则其反函数y=f(x)也可导, 且$
  $f'(x)=\frac{1}{\varphi'(y)}$
  $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

# 参数方程求导法

• $设y=y(x)是由\left\{\begin{aligned}x & = & \varphi(t) \\y & = & \psi(t)\end{aligned}\right.(\alpha<t<\beta)确定的函数, 则$
  $1)\quad\varphi(x)和\psi(x)都可导, 且\varphi'(t)\neq0, 则$
  $\qquad\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$
  $2)\quad\varphi(t)和\psi(t)二阶可导,且\varphi'(t)\neq0, 则$
  \qquad\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}(\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)})\cdot\frac{1}{\varphi'(t)}=\frac{\psi''(t)\varphi'(t)-\varphi''(t)\psi'(t)}

# 对数求导法

# 高阶导数

• $(sinx)^{(n)}=sin(x+n*\frac{\pi}{2})$
• $(cosx)^{(n)}=cos(x+n*\frac{\pi}{2})$
• (u\pm v)^{(n)}=u^{(n)}\pm v^
• (uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC^k_nu^{(k)}v^

# 求导法则

# 导数的应用

# 微分中值定理

# 罗尔定理

• $若\quad1)\quad f(x)在[a,b]上连续$
  $\qquad2)\quad f(x)在(a,b)上可导$
  $\qquad3)\quad f(a)=f(b)$
  $则\exist \xi\in(a,b), 使f'(\xi)=0$

# 拉格朗日定理

• $若\quad1)\quad f(x)在[a,b]上连续$
  $\qquad 2)\quad f(x)在(a,b)上可导$
  $则\exist \xi in (a,b), 使\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)$

# 柯西定理

• $若\quad1)\quad f(x), g(x)在[a,b]上连续$
  $\qquad 2)\quad f(x), g(x)在(a,b)上可导, 且g(x) \neq0$
  则\exist \xi \in (a,b), 使\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}

# 泰勒定理 (拉格朗日余项)

• $设f(x)在区间I上(n+1)阶可导, x_0 \in I, 那么对\forall x\in I, 至少存在一个\xi, 使$
  $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$
  $其中, R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}, \xi在x_0与x之间$
• 四个中值定理之间的关系
• 柯西，拉格朗日的证明

# 极值与最值

# 极值

• 极值的概念: $若\exist\delta>0, 使得$
  $\forall x \in U(x_0, \delta), 恒有f(x)\ge f(x_0), 则称f(x)在x_0取得极小值$
  $\forall x \in U(x_0, \delta), 恒有f(x)\le f(x_0), 则称f(x)在x_0取得极大值$
• 极值的必要条件:
  $若f(x)在x_0处取得极值, 且在x_0处可导, 则f'(x_0)=0$
• $极值点\mathop{}_{\nleftarrow}^{\nrightarrow}驻点$
• 三个充分条件
  $第一充分条件: 一阶导为零且左右邻域异号$
  $第二充分条件: 一阶导为零但二阶导不为零$
  $第三充分条件: n-1阶导数为零, n阶导数不为零, n为偶数则有极值, n为奇数无极值$

# 最值

• 寻找最值:
  $求出f(x)在(a,b)内的驻点和不可导的点x_0, x_1, \dots$
  $求出函数值并比较$

# 曲线的凹向和拐点

• 曲线的凹向:
  $凹: f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$
  凸: f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}
• 拐点:
  $f(x)在x_0处凹凸性相反$
  $f''(x_0)=0, 但f'''(x_0)\neq0$
  $n-1阶导数为零(n>=2), n阶导数不为零, n为奇数则有极值, n为偶数无极值$

# 曲线的渐近线

• 水平渐近线: $\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}=A$
• 垂直渐近线: $\lim_{x \to x_0}f(x)=\infty(一侧为\infty即可)$
• 斜渐近线: $若\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}=a, 若存在\lim_{x \to \infty}(f(x)-ax)=b, 则y=ax+b就为斜渐近线$

# 平面曲线的曲率

• 直角坐标方程计算曲率: $K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$
• 参数方程计算曲率: $K=\frac{y''x'-x''y'}{(x'^2+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$
• 曲率半径: R=\frac{1}

# 考点

# 导数与微分的概念

# 利用导数定义求极限

• 抓住式子中的变量部分，并凑成导数定义

# 利用导数定义求导数

• 分段函数的分界点的导数一般需要使用导数定义计算

# 利用导数定义判断函数可导性

• 涉及导数定义，连续的性质，极限保号性的运用
• $F(x)=|x-a|f(x), f(x)在x=a连续$
  $则有: f(a)=0\rightleftharpoons F(x)在x=a处可导$
• $f(x)可导与|f(x)|可导的关系与条件$
• 连续和导数连续的条件梳理

# 导数的几何意义

• 方程切线与法线
• $dy与\Delta y之间的关系$

# 导数与微分的计算

# 复合函数的导数

# 隐函数的导数

# 参数方程的导数

# 反函数求导法

# 对数求导法

# 高阶导数

# 导数应用

# 函数单调性，极值与最值

# 曲线的凹向，拐点，渐近线及曲率

# 方程根的存在性及个数

• 存在性:
  1. 零点定理
  2. 罗尔定理
• 根的个数:
  1. 单调性
  2. 罗尔定理推论: $在区间I上, 若f^{(n)}(x)\neq0, 则f(x)=0最多有n个实根$

# 证明函数不等式

• 单调性
• 最大最小值
• 拉格朗日中值定理
• 泰勒公式
• 凹凸性

# 微分中值定理有关的证明题

# 辅助函数的构造

• 分析法 (还原法): 即确定一个$F'(x)包含题中所含等式$
• 微分方程法：存在一阶二阶导数时，可以构建微分方程从而求出通解，找到原函数
• 常用公式: $对于f'(x)+g(x)f(x)类型, 原函数F(x)=e^{\int g(x)dx}f(x)$

# 双中值问题

# 两点可相等

• 一般来说是对一个式子，根据结构，分别使用两次中值定理 (可能是柯西，可能是拉格朗日)
  一般来说，一般选取题目中中值符号较多的一方 (一般来说分子分母都有该中值符号，再对其逆用柯西，之后再单独对分子使用拉格朗日)

# 两点不等

• 要求中值不等的证明题一般都需要对区间进行划分，之后对两个区间分别使用中值定理，最后再利用题中的其他条件建立等量关系.
  在一开始找不到分界点时，可以尝试用 c 代替，使用中值定理后带入题中方程，探究其可能的取值使等式恒成立，最后可得 c 点位置

# $证明存在一个中值点\xi\in(a,b), 使F[\xi, f^{(n)}(\xi)]\ge0(n\ge2)$

• 使用带拉格朗日余项的泰勒公式解题，哪一个点给的信息最多，就以哪一个点建立泰勒公式，之后将其他点带入该方程，建立等量关系