# 第三章、一元函数积分学

# 知识点

# 不定积分

# 两个基本概念

• 原函数: $F'(x)=f(x)$
• 不定积分: $\int f(x)dx=F(x)+C$

# 原函数的存在性

• 若$f(x)$ 在区间$I$ 上连续，则$f(x)$ 在区间$I$ 上必有原函数
• 若$f(x)$ 在区间$I$ 上有第一类间断点，则$f(x)$ 在区间$I$ 上没有原函数

# 不定积分的性质

# 基本积分公式

# 三种主要积分法

# 第一类换元法 (凑微分法)

• $若\int f(u)du=F(u)+C, 且\varphi(x)可导, 则$
  $\int f(\varphi(x))\varphi'(x)dx=\int f(\varphi(x))d\varphi(x)=F(\varphi(x))+C$

# 第二类换元法

• $设函数x=\varphi(x)可导, 且\varphi'(x)\neq0, 又设$
  $\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt=F(t)+C$
  $则\int f(x)dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt=F(\varphi^{-1}(x))+C$

# 分部积分法

• $设u(x), v(x)有连续一阶导数, 则$
  $\int udv=\int vdu$
• "反对幂指三"

# 三类常见可积函数的积分

# 有理函数积分$\int R(x)dx$

• 一般法 (部分分式法)
• 特殊方法 (加项减项拆或凑微分降幂)

# 三角有理式积分$\int R(sinx, cosx)dx$

• 一般公式 (万能代换)
  $令tan\frac{x}{2}=t, sinx=\frac{2t}{1+t^2}, cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}, dx=\frac{2}{1+t^2}dt$
• 特殊方法 (三角变形，换元，分部)
  $若R(-sinx, cosx)=-R(sinx, cosx), 则凑dcosx$
  $若R(sinx, -cosx)=-R(sinx, cosx), 则凑dsinx$
  $若R(-sinx, -cosx)=R(sinx, cosx), 则凑dtanx$

# 简单无理函数积分$\int R(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})dx$

• 令$\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t$

# 定积分

# 定积分概念

• $\int_{a}^{b}f(x)dx\triangleq\lim_{\lambda \to 0}\sum_{k=t}^{n}f(\xi_k)\Delta x_k$
• (1)$\quad \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(t)dt$
• (2)$\quad \int_{0}^{1}f(x)dx=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=0}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})$

# 定积分的几何意义

• $对于\int_{a}^{b}f(x)dx, b\ge a, 定积分表示[a,b]间f(x)与x轴所围图形的y轴正数部分减去负数部分$

# 定积分的存在性

• (1)$\quad必要条件: f(x)有界$
• (2)$\quad充分条件:$
  $f(x)在[a,b]上连续$
  $f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点$
  $f(x)在[a,b]上仅有有限个第一类间断点$

# 定积分的计算

• $牛顿-莱布尼茨公式: \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$
• $换元积分法: \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t))\varphi'(t)dt$
• $分部积分: \int_{a}^{b}udv=uv|^b_a-\int_{a}^{b}vdu$
• 奇偶性: : $\left\{ \begin{aligned} &0&,\quad f(x)为奇函数时;\\ &2\int_{0}^{a}f(x)dx&,\quad f(x)为奇函数时.\\ \end{aligned} \right.$
  $周期性:\int_{-a}^{a+T}f(x)dx=\int_{0}^{T}f(x)dx$
• 利用公式
  $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^nxdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^nxdx=$ $\left\{ \begin{aligned} &\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}&,\quad n偶\\ &\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{2}{3}&,\quad n奇\\ \end{aligned} \right.$
  $\int_{0}^{\pi}xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(sinx)dx$

# 变上限积分函数及其应用

• $设f(x)在[a,b]上连续, 则\int_{a}^{x}f(t)dt在[a,b]上可导且(\int_{a}^{x}f(t)dt)'=f(x)$

# 定积分的性质

# 不等式

• $若f(x)\leq g(x), 则\int_{a}^{b}f(x)dx\leq\int_{a}^{b}g(x)dx$
• $若f(x)在[a,b]上连续, 则$
  $m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)$
• $|\int_{a}^{b}f(x)dx|\leq\int_{a}^{b}|f(x)|dx$

# 中值定理

• $若f(x)在[a,b]上连续, 则$
  $\int_{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a), a<c<b$
• $若f(x), g(x)在[a,b]上连续, g(x)不变号, 则$
  $\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(c)\int_{a}^{b}g(x)dx, a<c<b$

# 可导，连续，可积，原函数存在性，间断点

# 反常积分

# 无穷区间上的反常积分

# 定义

• $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx=\lim_{t \to +\infty}\int_{a}^tf(x)dx$
• $\int_{-\infty}^{b}f(x)dx=\lim_{t \to -\infty}\int_{b}^tf(x)dx$
• $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^0f(x)dx+\int_0^{+\infty}f(x)dx$

# 比较判别法

• $设f(x), g(x)在[a,+\infty)上连续, 且0\leq f(x) \leq g(x), 则$
  $\int_a^{+\infty}g(x)收敛\Rightarrow\int_a^{+\infty}f(x)dx收敛$
  $\int_a^{+\infty}f(x)发散\Rightarrow\int_a^{+\infty}g(x)dx发散$

# 比较判别法的极限形式

• $设f(x), g(x)在[a, +\infty)非负连续, \lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda, 则$
  $当\lambda>0时, \int_a^{+\infty}f(x)dx与\int_a^{+\infty}g(x)dx同敛散$
  $当\lambda=0时, \int_a^{+\infty}f(x)dx收敛\Rightarrow\int_a^{+\infty}g(x)dx收敛$
  $当\lambda=+\infty时, , \int_a^{+\infty}g(x)dx发散\Rightarrow\int_a^{+\infty}f(x)dx发散$

# P 积分

• $\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^P}dx\left\{ \begin{aligned} &P> 1 &,\quad 收敛 \\ &P\leq 1 &,\quad 发散 \\ \end{aligned} \quad (a>0) \right.$

# 无界函数的反常积分

# 定义

• $设点a为函数f(x)的瑕点$
  $\int_a^bf(x)dx=\lim_{t \to a^+}\int_t^bf(x)dx$
• $设点b为函数f(x)的瑕点$
  $\int_a^bf(x)dx=\lim_{t \to b^-}\int_a^tf(x)dx$
• $设点c为函数f(x)的瑕点\quad(a<c<b)$
  $\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx$

# 比较判别法

• $设f(x), g(x)在(a,b]上连续, 且0\leq f(x) \leq g(x), 则$
  $\int_a^{b}g(x)收敛\Rightarrow\int_a^{b}f(x)dx收敛$
  $\int_a^{b}f(x)发散\Rightarrow\int_a^{b}g(x)dx发散$

# 比较判别法的极限形式

• $设f(x), g(x)在(a,b]非负连续, \lim_{x \to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda, 则$
  $当\lambda>0时, \int_a^{b}f(x)dx与\int_a^{b}g(x)dx同敛散$
  $当\lambda=0时, \int_a^{b}f(x)dx收敛\Rightarrow\int_a^{b}g(x)dx收敛$
  $当\lambda=b时, , \int_a^{b}g(x)dx发散\Rightarrow\int_a^{b}f(x)dx发散$

# P 积分

• $\int_a^{b}\frac{1}{x^P}dx, \int_a^b\frac{1}{(b-x)^P}dx\quad\left\{ \begin{aligned} &P\ge 1 &,\quad 发散 \\ &P< 1 &,\quad 收敛 \\ \end{aligned} \right.$

# $\Gamma函数$

• 定义: $\Gamma(S)=\int_0^{+\infty}x^{S-1}e^{-x}dx\quad s>0$
• 递推公式:
  $\Gamma(S+1)=S\Gamma(S)$
  $\Gamma(n+1)=n!$

# 定积分应用

# 高等数学常见曲线

• 星形线
  $\left\{\begin{aligned} & x=acos^3t\\ & y=asin^3t\\ \end{aligned} \right.$
  $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$
• 摆线
  $\left\{\begin{aligned} & x=a(t-sint)\\ & y=a(1-cost)\\ \end{aligned} \quad 0\leq t\leq2\pi \right.$
• 双扭线
  $(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$
  $\rho^2=a^2cos2\theta$
• 心形线
  $r=a(1+cos\theta)\quad a>0$

# 几何应用

# 平面域的面积

• $设有平面域D, 则该平面域D的面积为$
  $S=\iint\limits_D1d\sigma$
• $若平面域D由曲线y=f(x), y=g(x)\quad(f(x)>g(x)), x=a, x=b\quad(a<b)所围成, 则$
  $S=\iint\limits_D1d\sigma=\int_a^bdx\int_{g(x)}^{g(x)}dy=\int_a^b[f(x)-g(x)]dx$
• $若平面域D由曲线r=r(\theta), \theta=\alpha, \theta=\beta\quad(\alpha<\beta)所围成, 其面积为$
  $S=\iint\limits_D1d\sigma=\int_\alpha^\beta\theta\int_0^{r(\theta)}rdr=\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2(\theta)d\theta$

# 空间体的体积

• 旋转体的体积: $平面域D绕直线L: ax+by+c=0(该支线不穿过区域D)旋转所得旋转体体积记为V$
  $dV=2\pi r(x,y)d\sigma$
  $V=2\pi\iint\limits_Dyd\sigma\qquad r(x,y)=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
  $V_x=2\pi\int_a^bdx\int_0^{f(x)}ydy=\pi\int_a^bf^2(x)dx$
  $V_y=2\pi\int_a^bdx\int_0^{f(x)}xdy=2\pi\int_a^bxf(x)dx$
• 已知横截面面积的体积
  $V=\int_a^bS(x)dx\qquad(注意这里是弧积分)$
• 曲线弧长
  $C:y=y(x), \qquad a\leq x\leq b\qquad s=\int_a^b\sqrt{1+y'^2}dx$
  $C:\left\{\begin{aligned} & x=x(t)\\ & y=y(t)\\ \end{aligned} \qquad \alpha\leq t\leq\beta \right.\quad s=\int_\alpha^\beta\sqrt{x'^2+y'^2}dt$
  $C:r=r(\theta),\qquad\alpha\leq\theta\leq\beta\quad s=\int_\alpha^\beta\sqrt{r^2+r'^2}d\theta$
• 旋转体侧面积
  $S=2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+f'^2(x)}dx$

# 物理应用

# 压力

• $压力F=PS, P为压强, S为受力面积$
• $压强P=\rho gh, \rho为密度, g为重力加速度, h为深度$

# 变力作功

• $功W=Fx, F为力, x为位移$

# 引力

# 考点

# 不定积分

# 计算不定积分

• $补充: \int\frac{\mathit{a}sinx+\mathit{b}cosx}{\mathit{c}sinx+\mathit{d}cosx}dx=\int\frac{A(\mathit{c}cosx-\mathit{d}sinx)+B(\mathit{c}sinx+\mathit{d}cosx)}{\mathit{c}sinx+\mathit{d}cosx}$

# 不定积分杂例

# 定积分

# 定积分的概念，性质及几何意义

# 定积分计算

# 变上限定积分函数及其应用

# 连续性

• $设f(x)在[a,b]上可积, 则\int_a^xf(t)dt在[a,b]上连续$

# 可导性

• $设f(x)在[a,b]上连续, 则\int_a^xf(t)dt在[a,b]上可导且(\int_a^xf(t)dt)'=f(x)$

# $有关F(x)=\int_a^xf(t)dt在一点处可导性的结论$

$如果f(x)在[a,b]上除点x=x_0\in(a,b)外均连续, 则在x=x_0点处$

• $连续\longrightarrow可导, 且F'(x_0)=f(x_0)$
• $可去\longrightarrow可导, 且F'(x_0)=\lim_{x \to x_0}f(x)$
• $跳跃\longrightarrow连续但不可导, 且F'_-(x_0)=f(x_0^-)\quad F'_+(x_0)=f(x_0^+)$

# 奇偶性

• $设f(x)连续, 则$
  $若f(x)为奇函数, 则\int_a^xf(t)dt为偶函数$
  $若f(x)为偶函数, 则\int_a^xf(t)dt为奇函数$

# 积分不等式

• 顶积分不等式性质
• 变量代换
• 积分中值定理
• 变上限积分
• 柯西积分不等式
  $(\int_a^bf(x)g(x)dx)^2\leq\int_a^bf^2f(x)dx\int_a^bg^2(x)dx$

# 反常积分

# 反常积分的敛散性

# 反常积分的计算

# 定积分应用

# 几何应用

# 物理应用